Proč je Zodiakálních znamení právě 12

Uveřejněno v Konstelaci č.58–59 str.9-17

Proč je Zodiakálních znamení právě 12

Tímto textem splácím dluh svému článku z Konstelace č.54-55 "22 písmen..", kde jsem stručně vysvětlil, proč je Zodiakálních znamení právě 12 a odvolával jsem se na funkci, jejíž blízkou obdobu známe od hlubokého starověku pod názvem "Rychlost Ascendentu" - v úvodu tedy začnu od ní. Následující popis je spíše technického rázu ^#1), neboť není v možnostech podobného článku současně vysvětlovat esoterní propojení s geometrií (ukazovat odraz esoterních vztahů v geometrii).

Funkce "Rychlost Ascendentu" je genericky svázána s rotací Země. Formálně je to derivace pohybu Ascendentu po ekliptice podle pohybu průsečíku horizontu a rovníku tj. bodu AO (Ascensio Oblique) ^#2) na rovníku, jako projev rotace Země (změna AO je přímo úměrná času).

V "diferenční" podobě je to názornější - Obr. 01:
K danému AO1 na rovníku určíme na ekliptice Ascendent Asc1. S rotací Země se posuneme o malý úsek dAO na AO2=AO1+dAO, kterému odpovídá na ekliptice Ascendent Asc2.

Obr. 01

Označíme-li diferenci dAsc=Asc2-Asc1 a dAO=AO2-AO1, pak dAsc/dAO ukazuje vztah mezi pohybem horizontu po rovníku a s ním svázaným pohybem horizontu po ekliptice (jako bezrozměrné číslo). Vynásobíme-li jej rychlostí otáčení oblohy 2.5068°/10min, dostaneme Rychlost Ascendentu ve stupních za 10 minut ^#3). Pokud tuto rychlost určíme pro všech 360° rovníku, získáme zmíněnou funkci viz Obr. 02 fce f6.

Obr. 02 (funkce f1, f2, f5, f6)

Takto definovaná Rychlost Ascendentu je "jednosměrný" vztah mezi rotací Země a pohybem horizontu po ekliptice (vztah, který směřuje "od rotace" k pohybu Ascendentu) kde AO, přesněji AO(t) je lineární funkcí času t (tj.nezávislé proměnné).

Můžeme ovšem také vytvořit "obousměrný" vztah mezi rovníkem a ekliptikou – opět viz Obr. 01. Začneme od vycházejícího bodu na ekliptice Ascendentu Asc1 a na rovníku k němu určíme jeho AO1. Po rovníku se posuneme o malý úsek dAO na AO2=AO1+dAO (jako v minulém případě) a zpětně určíme k AO2 příslušný Asc2. Máme opět dAsc=Asc2-Asc1, a také dAO=AO2-AO1 a odpovídající dAsc/dAO, ale tato funkce, byť je podobná funkci Rychlost Ascendentu, je od ní různá a má mnohé důležité vlastnosti.

Vtip této konstrukce je v tom, že diferencujeme (či derivujeme) uvnitř složené funkce, při čemž AO se nemění s časem, ale s pohybem po ekliptice.

Jinak řečeno - máme 2 funkce:

1. funkci F z ekliptiky šikmým sestupem na rovník a
2. funkci G k ní "inverzní", tj. šikmý vzestup z rovníku na ekliptiku.

Obecně platí, že pokud složíme funkci s funkcí k ní inverzní ^#4), dostaneme výchozí hodnotu (identitu): tj.

AO = F(Asc), Asc =G(AO), ve tvaru složené funkce:
Asc = G(F(Asc))

Naše konstrukce ale funguje jinak: Asc2= G( F(Asc1)+dAO ) a následná diferenciace

dAsc/dAO =(Asc2-Asc1)/(AO2-AO1); Obr. 02 funkce f1

pak dává "Rychlost" Ascendentu odvozenou nikoli od rotace Země, ale od obousměrné vazby mezi ekliptikou a rovníkem - pracovně to nazývám "Skluz Ascendentu" ^#5).

Klíčovou vlastností fce f1 je, že v harmonickém rozvoji této funkce (rozklad do "sinusovek") jsou významné pouze první 3 harmonické, navíc, sudé počínaje 4. harmonickou jsou identicky rovné 0. Zde je také vysvětlení toho, proč "právě 12", a ne např. 24, to by tam musela být ještě ta 4.harmonická !!
Funkce s opačným pořadím:

AO1 ––> (Asc1+dAsc) ––> AO2

(tj. z rovníku na ekliptiku a zpět) tuto vlastnost nemá - má totiž všechny harmonické, včetně sudých, viz graf funkce f5 na Obr. 02b. Další klíčovou vlastností je, že stejný harmonický rozvoj získáme, i když se neposouváme "ve směru rotace", tj. po rovníku, ale třeba po poledníku směrem k pólu – mění se z.š.
Lat ^#6) – funkce f2 na Obr. 02 a Obr. 04:

AO =F(Asc1,Lat1); Asc2 =G(AO,Lat2); Lat2 =Lat1+dLat;
dAsc/dLat je na Obr. 02 - funkce f2 ^#7)

Pro vysvětlení pojmu harmonického rozvoje je na Obr. 03a graf funkce získaný jako součet prvních 3 harmonických a konstanty, tj. 0-té harmonické (funkce byla míněna jako testovací a demonstrační, hodnoty koeficientů byly zvoleny tak, aby byly v grafu dobře čitelné):

f_test = 3.0*cos(0*α) + 1.0*cos(1*α) + 0.1*cos(2*α) + 0.01*cos(3*α)

Obr. 03

Na Obr. 03b je její "harmonický rozvoj" - koeficienty od 0-té až do 3-tí harmonické - postupně
3, 1, 1/10, 1/100.

Obr. 04

Na Obr. 04 jsou funkce f1, f2 (z Obr. 02) samostatně. Zde je dobře patrný jak strmý pokles amplitud jednotlivých harmonických, tak absence sudých harmonických počínaje čtvrtou. Řada je sice nekonečná, ale residuum řady (tj. zbytek zanedbaných členů) je řádově menší, než poslední významná – 3.harmonická. Např. pro z.š. Lat=50° je amplituda 3.harmonické =4.0*10^-2 a residuum řady =8.3*10^-4 tedy o 2 řády menší ^#8).

Z hlediska řešené otázky, tj. existence dvanáctinného dělení, je důležitá existence samotných periodicit (nezávisle na konkrétní fázi té které harmonické).

Obr. 05

Schematické vyobrazení prvních 3 harmonických, zaručujících existenci dvanáctinného dělení, je na Obr. 05. Společnou jednotkou (největším společným dělitelem) pro 1. 2. a 3. harmonickou je vyznačený úsek 30° tj. 1/12 kruhu. Že "právě dvanáctinné" dělení je dáno zmíněnou absencí těch sudých od 4. výše (např. se 4.harmonickou by to bylo dělení na 24).

Pro představu, jak se mění průběh funkce se zeměpisnou šířkou, jsou na Obr. 06 grafy f1 pro Lat=60°,50°..10°.

Obr. 06

Pro úplnost dodávám, že průběh 1.harmonické na Obr. 05 "mechanicky" kopíruje pohyb "človíčka" (jako oběžnice) z Obr. 07a,b. Zároveň je tento človíček (jako oběžnice) formálně totožný s pohybem hrotu X. Morinova domu (kolmice na ekliptiku z ARMC, kde ARMC je vlastní projekce toho človíčka na nebe) viz Obr. 08.

Obr. 07a Obr. 07b

Obr. 08

Závěr

Mohlo by se zdát, že existence dvanáctinného dělení je neoddělitelně spojena s horizontem a tím i s vycházením a zapadáním. Nezávisle na tom, že pohyb horizontu úzce propojuje ekliptiku a rovník, je zde popsaný vztah (mezi rovníkem a ekliptikou) mnohem širší, neboť platí pro "šikmý vzestup" obecně. V důsledcích jsou pak podmínky splněny pro jakékoli dvě různé oběžné roviny (podmínkou je reálný oběh).

Funkce f1 (diferencovaná podél rovníku), spolu s funkcí f2 – diferencovanou ve směru kolmém na rovník – určuje totální diferenciál

dAsc = Asc'_AO*dAO + Asc'_Lat*dLat ^#9)

zmíněný v Konstelaci č.54-55.

Z jeho existence a ze stejných harmonických vlastností obou funkcí vyplývá, že v daném místě na povrchu (!!) Zeměkoule, libovolný lokální pohyb v libovolném směru kolem tohoto místa, generuje dvanáctinné dělení.

Na polárním kruhu nejsou v Jarním bodě uvažované funkce (včetně Rychlosti Ascendentu f6) definovány – pro AO=0° splyne horizont s ekliptikou, jinde a dále za polárním kruhem sice průsečíky ekliptiky a horizontu existují, ale Ascendent neprobíhá celých 360° (pohybuje se jen v omezeném úseku kolem bodu podzimní rovnodennosti). Nelze tak provést srovnatelnou harmonickou analýzu průběhu na celém cyklu.

-------------------------------------------------------

1) Poznámky "pod čarou" jsou důležité z formálního hlediska, nikoliv pro pochopení logiky textu.

2) "Vzestup šikmo" - šikmý vzestup.

3) V dolních grafech b) "Koeficienty harmonického rozvoje" jsou hodnoty ponechány v původní bezrozměrné podobě.

4) Například inverzní funkcí ke kvadratické funkci x² je druhá odmocnina "Ö ". Pro x>=0 platí: x=Ö(x²) neboli x=x, tedy zmíněná "identita".

5) Fakticky se jedná o "změnu metriky" nezávislé proměnné - místo AO(t), tedy AO jako funkce času, je použita ekliptikální délka Ascendentu (tj. λ). Možná názorněji - místo AO(t) je použita AO(λ).

Pozn.:
Pro zjednodušení zápisu používáme všude tam, kde nehrozí nedorozumění, pro označení bodu i pro jeho ekliptikální délku stejné označení "Asc" – podobně i pro "AO".

6) Zeměpisná šířka Lat je na Obr. 01 a Obr. 08 značena φ .

7) AO i Asc jako funkce závisí ještě na ε tj. na sklonu rovníku k ekliptice:

AO =F(Asc, Lat, ε); Asc =G(AO, Lat, ε);

8) Funkcí, které mají jen liché harmonické, je spousta – např. trojúhelníkový průběh, nebo obdélníkový (naopak pilový průběh má všechny harmonické tj. sudé i liché). Naše funkce f1 (a také f2) je výjimečná tím, že má kromě lichých, také 2.harmonickou tj. sudou, ale jen ji. Je to ona, která spolu s 3.harmonickou, generuje dělení na právě 12 – fakticky se zde jedná o vlastnost sféry.

9) Označení Asc'_AO a Asc'_Lat zde značí parciální derivace postupně podle AO a Lat.

– – –

ZPĚT na hlavní stránku