Linerizovaný výpočet Hermovy váhy

Odkaz z článku Hermova váha - (Trutina Hermetis)
Na linearizované podobě úlohy je ukázána zaručená existence dvojice (vzor-obraz)

Přímý výpočet Hermovy váhy

Pro důkaz zaručené existence řešení se stačí omezit jen na Lunu na Ascendentu (krok Luny na straně vzoru pak není 12 hod, tedy "půl-otáčka na Descendent", ale 1 den tj. celá otáčka do dalšího Ascendentu). Také není nutné řešit úlohu pro obecnou vzdálenost epoch vzor-obraz, tj. pro libovolné násobky 14 dní (konstanta Kt viz dále). Pro srovnávací výpočet v závěru pak použijeme reálnou TH, a to pro zem.šířku 10°, aby se zmenšila nelinearita rychlosti Ascendentu.

Výchozí čas k opravě je Tn. Od tohoto okamžiku odpočítáváme jak opravu dT2, tak počet dní Kt do epochy vzoru.


Použité symboly

  vL   = 360°/27.3215821 dní // rychlost Luny - vztažena na tropický měsíc 

     vA = 360°/den            //  rychlost Ascendentu (1
 otáčka za 1 den) 

     Kt         // [day]   zvolený počet dní pro epochy vzoru (0,14,28,..) 

     Ln        // [°]     výchozí poloha Luny v čase 
Tn

     An        // [°]     výchozí poloha Ascendentu (pro stejný čas) 

     L2, A2    // [°]     poloha Luny2 a Asc2 obrazu (oprava výchozí polohy) 
 
     L1, A1    // [°]     poloha Luny1 a Ascendentu1 vzoru 

     dT2       // [day]   oprava času obrazu 
 
     dT1       // [day]   oprava času vzoru od
Kt. V první části odlišena 
     

                     rovnice pro Lunu (dT1L) a pro Ascenednt (dT1A)

 


    
Výchozí vztahy:

TH:(L2=A1) & (L1=A2)   // (01) & (02)

   dT2 = (L2-Ln)/vL   // (03)

   dT2 = (A2-An)/vA   // (04)
 

   
   dT1L = (L1 - (Ln + _360(Kt*vL)       
) )/vL   // (05)  dT1L =dT1
 
   dT1A = (A1 - (An + _360(Kt*vA) +360*m) 
)/vA   // (06)  dT1A =dT1

 Člen Ln+(Kt*vL) je poloha Luny epochy vzoru odvozená od vstupní Luny Ln, 
podobně pro člen s  An. Funkce _360() normalizuje výsledek do intervalu 
<0;360°).   Pro vzor je čas dT1L pro Lunu1 a dT1A pro Ascendent1 
samozřejmě týž, proto  dT1L=dT1A, nicméně zde  formálně odlišeno kvůli kontrolnímu
výpočtu na konci.

 

Člen  +360*m jsou "celé otáčky" Ascendentu1, 
m je počet dní, o které se Luna vzdálí od epochy vzoru.
 
 
 
 
Odvození 

 
Podle TH v (05) a (06) nahradíme

 
   dT1L = (A2 - (Ln+_360(Kt*vL)      ) )/vL   // (07)  L1 výrazem A2 

   dT1A = (L2 - (An+_360(Kt*vA)+360*m) 
)/vA   // (08)  A1 výrazem L2



 
V rovnicích  (03) a (04) osamostatníme L2 a A2

 
   L2 = dT2 *vL + Ln                      // (09)

   A2 = dT2 *vA + An                      // (10)


a podobně i rovnicích  (07) a (08)
 
 
   A2 = dT1 *vL + Ln + _360(Kt*vL)        // (11) <-(07)

 
   L2 = dT1 *vA + An + _360(Kt*vA)+360*m  // (12) <-(08)

 
 
Levé strany (09) a (12) jsou stejné, podobně (10)=(11),
odtud porovnáním pravých stran dostáváme (zde jsou ty 2 rovnice o 2 neznámých dT1 a dT2)
^*)

   dT2*vL + Ln = dT1*vA + An +_360(Kt*vA)+360*m  // (13), (09)=(12)

   dT2*vA + An = dT1*vL + Ln +_360(Kt*vL)       // (14), (10)=(11)

 

 
Osamostatníme dT1: (13) vydělíme vA a (14) vydělíme vL


 
   dT2*vL/vA = dT1 + (An+_360(Kt*vA)+360*m)/vA - Ln/vA   // (15)

   dT2*vA/vL = dT1 + (Ln+_360(Kt*vL)      
)/vL - An/vL   // (16)




  
Od (15) odečteme (16)
 
   dT2*vL/vA - dT2*vA/vL = 

      = (An +_360(Kt*vA)+360*m)/vA - 
(Ln +_360(Kt*vL))/vL +An/vL -Ln/vA  (17)
 
 
Vytkneme dT2 a upravíme i další členy na

   dT2*(vL/vA - vA/vL) = 

      = (An +_360(Kt*vA)+360*m -Ln)/vA -(Ln 
+_360(Kt*vL) -An)/vL    //  (18)

 


Výsledek 

 
  
   
   
    Po osamostatnění dT2 dostáváme výsledek:
 
   dT2 := (  ( An+_360(Kt*vA)+360*m -Ln )/vA


           - ( Ln+_360(Kt*vL)
      -An )/vL )/(vL/vA-vA/vL);  //  (19) 

 
  
  

 

  
   
   
 pro Kt=0,  (zjednoduší následující kontrolní výpočet)

   dT2 := ( (An+360*m -Ln)/vA - (Ln-An)/vL )/(vL/vA - vA/vL); 
// (19b)

 
  
  
 



Zbylé proměnné L2=A1, A2=L1 získáme dosazením 
dT2 postupně do (03), (04),

dT1 potom do(07) nebo (08).






Srovnávací výpočet pomocí TH


 Dále můžeme kontrolně dopočítat hodnoty pomocí TH -  
 
 Vstupní časový okamžik Tn: 
   30 Jul 2023 16:20 (2e00) [15e00 10n00]
   JDn =2460156.09722;  An =264°1331; Ln =276°4690;
 
 Vypočtený obraz:
  

Jd2 =2460156.09233;  Asc2 =262.5236; Moon2 =276.3969;
   

30 Jul 2023 16:12:57 (2e00), 

   dT2 = -0.00489d = 
-0.11736h = -7m03s
 Vypočtený vzor:
  

Jd1 =2460155.13694;  Asc1 =276.3968; Moon1 =262.5236;
   

29 Jul 2023 17:17:12 (2e00), dT1= 0.96028d = 23.04672h

 Luna1 je o 1den dříve (tj.Asc1+360°), proto je pro následující výpočet m=1.


Kontrolní výpočet^**)


Linearizovaný výpočet pro Kt=0, m=1, vstupní data stejná:

   Ln = 276°4690;  An = 264°1331; 



   vL = 13.176396545 [°/den] = 360°/27.3215821d (tropický měsíc) 

   vA = 360 [°/den] - Jako varianta otestována vA = 327.2534°/d tj. okamžité rychlosti Ascendentu 
An )

   dT2 := ((An+360-Ln)/vA -(Ln-An)/vL)/(vL/vA-vA/vL);



   dT2 = -0.00509d = -0.1221h = -7m20s 
(vA =okamžitá rych. An)


   dT2 = -0.00108d = -0.0260h = -1m33s 
(vA =360°/den)

L2 := dT2*vL + Ln; // (03') A2 := dT2*vA + An; // (04') dT1L := _360(A2 - Ln )/vL; // (07)' dT1L=dT1 dT1A := _360(L2 - (An+360)/vA; // (08)' dT1A=dT1 dT1 = -1.06257d = -25.5018h (vA =okamžitá rych. An) dT1 = -0.96577d = -23.1786h (vA =360°/den) L1 := _360(dT1L*vL + Ln); // (05)' A1 := _360(dT1A*vA + An); // (06)' L1 = A2 = 262°4681; A1 = L2 = 276°4020 (vA =okamžitá rych. An) L1 = A2 = 263°7436; A1 = L2 = 276°4547 (vA =360°/den)

**) Spíše se jedná o "kontrolu" toho, že odvozené vzorce opravdu počítají Hermovu váhu, než o kontrolu přesnosti výpočtu. Nicméně výsledek je překvapivě dobrý. Na větší vzdálenost (např. pro Kt=273 dní) by se vliv linearizace, tj. zanedbání nerovnoměrného pohybu Luny i Ascendetu projevil výrazněji.

Přímý výpočet Hermovy váhy

Použité symboly

Výchozí vztahy:

Odvození

Výsledek

Srovnávací výpočet pomocí TH

Kontrolní výpočet**)

Kontrolní výpočet^**)